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Ableitung |x| bzw. |x|^3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Di 09.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

eine ziemlich peinliche Frage! Aber ich stehe wohl gerade auf mehr als nur einem Schlauch. Ich möchte [mm] f(x)=(|x|)^3 [/mm] ableiten.
Das macht man ja mit der Kettenregel.
Da komme ich auf [mm] 3|x|^2 [/mm] * 1 also [mm] f'(x)=3|x|^2 [/mm]
und dann auf f''(x) = 6|x|
Ist das so richtig?
Eine weitere Ableitung gibt es ja nicht, weil in Punkt 0 nicht differenzierbar.

Denke ich jetzt total falsch?

Gruß
anna

        
Bezug
Ableitung |x| bzw. |x|^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Di 09.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> eine ziemlich peinliche Frage!

Ich finde die Frage hochinteressant und nicht peinlich - viele würden einfach darüber hinwegsehen!

Aber ich stehe wohl gerade

> auf mehr als nur einem Schlauch. Ich möchte [mm]f(x)=(|x|)^3[/mm]
> ableiten.
>  Das macht man ja mit der Kettenregel.
>  Da komme ich auf [mm]3|x|^2[/mm] * 1 also [mm]f'(x)=3|x|^2[/mm]
>  und dann auf f''(x) = 6|x|
>  Ist das so richtig?
>  Eine weitere Ableitung gibt es ja nicht, weil in Punkt 0
> nicht differenzierbar.
>  
> Denke ich jetzt total falsch?

Du solltest erstmal mittels Differentialquotienten überprüfen, ob $f(x) = [mm] (|x|)^{3}$ [/mm] überhaupt in 0 differenzierbar ist. Eigentlich ist dass nämlich nicht so (zumindest nicht nach der Kettenregel, denn dafür müsste ja auch die innere Funktion |x|, in 0 differenzierbar sein).

Nun gilt aber zum Glück für x = 0:

[mm] $\frac{f(0+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \frac{|0+h|^{3}-|0|^{3}}{h} [/mm] = [mm] \frac{|h^{3}|}{h} \to [/mm] 0$

(für [mm] h\to [/mm] 0).

Dasselbe gilt auch noch für f'.

!! Deine Ableitungen oben sind allerdings nicht ganz richtig: Die Ableitung von |x| für [mm] x\not= [/mm] 0 ist [mm] \frac{x}{|x|} [/mm] oder [mm] \frac{|x|}{x} [/mm] wahlweise, nicht einfach 1. Das wirst du nochmal überprüfen müssen oben.

Wie du aber trotzdem richtig festgestellt hast, kannst du ab der zweiten Ableitung nicht mehr differenzieren.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Ableitung |x| bzw. |x|^3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Di 09.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo Stefan,

danke für Deine Antwort!
  

> Du solltest erstmal mittels Differentialquotienten
> überprüfen, ob [mm]f(x) = (|x|)^{3}[/mm] überhaupt in 0
> differenzierbar ist. Eigentlich ist dass nämlich nicht so
> (zumindest nicht nach der Kettenregel, denn dafür müsste
> ja auch die innere Funktion |x|, in 0 differenzierbar
> sein).
>  
> Nun gilt aber zum Glück für x = 0:
>  
> [mm]\frac{f(0+h)-f(x)}{h} = \frac{|0+h|^{3}-|0|^{3}}{h} = \frac{|h^{3}|}{h} \to 0[/mm]
>  
> (für [mm]h\to[/mm] 0).
>  
> Dasselbe gilt auch noch für f'.

OK, gut, dass Du das nochmal geschrieben hast!
  

> !! Deine Ableitungen oben sind allerdings nicht ganz
> richtig: Die Ableitung von |x| für [mm]x\not=[/mm] 0 ist
> [mm]\frac{x}{|x|}[/mm] oder [mm]\frac{|x|}{x}[/mm] wahlweise, nicht einfach
> 1. Das wirst du nochmal überprüfen müssen oben.

Ich wusste, dass ich auf dem Schlauch bin. Logisch. Das wars, was mir ein komisches Gefühl gegeben hat. Es ist dann natürlich f'(x) = [mm] 3*(|x|)^2 [/mm] * [mm] \bruch{x}{|x|} [/mm] = [mm] \bruch{3*|x| |x| x}{|x|}=3|x|x [/mm] ...so müsste es nun stimmen oder?

Gruß
Anna

Bezug
                        
Bezug
Ableitung |x| bzw. |x|^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 09.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> > !! Deine Ableitungen oben sind allerdings nicht ganz
> > richtig: Die Ableitung von |x| für [mm]x\not=[/mm] 0 ist
> > [mm]\frac{x}{|x|}[/mm] oder [mm]\frac{|x|}{x}[/mm] wahlweise, nicht einfach
> > 1. Das wirst du nochmal überprüfen müssen oben.
>  
> Ich wusste, dass ich auf dem Schlauch bin. Logisch. Das
> wars, was mir ein komisches Gefühl gegeben hat. Es ist
> dann natürlich f'(x) = [mm]3*(|x|)^2[/mm] * [mm]\bruch{x}{|x|}[/mm] =
> [mm]\bruch{3*|x| |x| x}{|x|}=3|x|x[/mm] ...so müsste es nun stimmen
> oder?

Genau [ok] :-)

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Ableitung |x| bzw. |x|^3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Di 09.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo Stefan,

> > f'(x) = [mm]3*(|x|)^2[/mm] * [mm]\bruch{x}{|x|}[/mm] =
> > [mm]\bruch{3*|x| |x| x}{|x|}=3|x|x[/mm] ...so müsste es nun stimmen
> > oder?
>  
> Genau [ok] :-)

Aber jetzt überlege ich die 2. Ableitung, ich glaube die stimmt doch sogar von mir? Aber wie komme ich da nun drauf? Mit Produktregel denke ich, aber irgendwie klappt das nicht.
3 ( 1 * |x| + [mm] x*\bruch{x}{|x|} [/mm] )= [mm] 3(|x|+\bruch{x*x}{|x|}) [/mm] Habe ich soweit schon einen Denkfehler?

Danke,
Anna


Bezug
                                        
Bezug
Ableitung |x| bzw. |x|^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Di 09.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Hallo Stefan,
>  
> > > f'(x) = [mm]3*(|x|)^2[/mm] * [mm]\bruch{x}{|x|}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{3*|x| |x| x}{|x|}=3|x|x[/mm] ...so müsste es nun stimmen
> > > oder?
>  >  
> > Genau [ok] :-)
>  
> Aber jetzt überlege ich die 2. Ableitung, ich glaube die
> stimmt doch sogar von mir? Aber wie komme ich da nun drauf?
> Mit Produktregel denke ich, aber irgendwie klappt das
> nicht.
>  3 ( 1 * |x| + [mm]x*\bruch{x}{|x|}[/mm] )= [mm]3(|x|+\bruch{x*x}{|x|})[/mm]
> Habe ich soweit schon einen Denkfehler?

Du hast recht, die zweite Ableitung von dir ist richtig [ok] !

Du hast keinen Denkfehler, bedenke einfach, dass du statt [mm] \frac{x}{|x|} [/mm] auch [mm] \frac{|x|}{x} [/mm] schreiben kannst.

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung |x| bzw. |x|^3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Di 09.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo Stefan,

ach ja, dabei hatte ich hier auf meinem Blatt schon beide Varianten gerechnet, hab die eine aber wieder verworfen - anstatt mal weiter zu rechnen. Klar. Es ist:

3 ( 1 * |x| + [mm]x*\bruch{|x|}{x}[/mm] )= [mm]3(|x|+\bruch{x*|x|}{x})[/mm]
= 3(|x|+|x|) = 3(2|x|) = 6|x|

> Du hast keinen Denkfehler, bedenke einfach, dass du statt
> [mm]\frac{x}{|x|}[/mm] auch [mm]\frac{|x|}{x}[/mm] schreiben kannst.

Kann man eigentlich beides nehmen - egal wann. Einfach so, wie es einen am besten passt?

Danke,
Anna

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung |x| bzw. |x|^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Di 09.02.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Hallo Stefan,
>  
> ach ja, dabei hatte ich hier auf meinem Blatt schon beide
> Varianten gerechnet, hab die eine aber wieder verworfen -
> anstatt mal weiter zu rechnen. Klar. Es ist:
>  
> 3 ( 1 * |x| + [mm]x*\bruch{|x|}{x}[/mm] )= [mm]3(|x|+\bruch{x*|x|}{x})[/mm]
> = 3(|x|+|x|) = 3(2|x|) = 6|x|

Genau :-)

> > Du hast keinen Denkfehler, bedenke einfach, dass du statt
> > [mm]\frac{x}{|x|}[/mm] auch [mm]\frac{|x|}{x}[/mm] schreiben kannst.
>  
> Kann man eigentlich beides nehmen - egal wann. Einfach so,
> wie es einen am besten passt?

Für $x [mm] \not= [/mm] 0$ ja. (Ansonsten kann man es ja gar nicht hinschreiben).
Dann ist nämlich für x < 0:

[mm] $\frac{x}{|x|} [/mm] = [mm] \frac{x}{-x} [/mm] = -1 = [mm] \frac{-x}{x} [/mm] = [mm] \frac{|x|}{x}$ [/mm]

(x > 0 genauso.)

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung |x| bzw. |x|^3: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Di 09.02.2010
Autor: Anna-Lyse

Hallo Stefan,

DANKE!

Gruß
Anna

Bezug
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